题目内容
已知二次函数h（x）=ax2+bx+c（其中c＜3），其导函数y=h'（x）的图象如图，f（x）=61nx+h（x）
（1）求函数f（x）在x=3处的切线斜率；
（2）若函数f（x）在区间（1，m+
）上是单调函数，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=-x，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求c的取值范围。
（2）若函数f（x）在区间（1，m+
）上是单调函数，求实数m的取值范围；（3）若函数y=-x，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求c的取值范围。
解：（1）由已知，h'（x）=2ax+b，其图象为直线，且过（0，-8），（4，0）两点，
所以，h'（x）= 2x-8
则
，解得
所以
所以
所以f'（3）=0，
即函数f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为0。
（2）由（1）知
因为x>0
所以x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：
所以f（x）的单调增区间为（0，1）和（3，+∞），单调减区间为（1，3）
要使函数f（x）在区间
上是单调函数，
则
，解得
。
（3）由题意，-x≥f（x）在x∈（0，6]上恒成立
得
在x∈（0，6]上恒成立
即
在x∈（0，6]上恒成立
设
则c≤g（x）min
因为x>0，
所以当
时，g '（x）>0，g（x）为增函数
当
或x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数
所以g（x）的最小值为
和g（6）中的较小者
因为
所以
又已知c＜3
所以c≤6-6ln6。
所以，h'（x）= 2x-8
则
，解得所以
所以
所以f'（3）=0，
即函数f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为0。
（2）由（1）知
因为x>0
所以x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：
所以f（x）的单调增区间为（0，1）和（3，+∞），单调减区间为（1，3）
要使函数f（x）在区间
上是单调函数，则
，解得。（3）由题意，-x≥f（x）在x∈（0，6]上恒成立
得
在x∈（0，6]上恒成立
即
在x∈（0，6]上恒成立设
则c≤g（x）min
因为x>0，
所以当
时，g '（x）>0，g（x）为增函数当
或x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数所以g（x）的最小值为
和g（6）中的较小者因为
所以
又已知c＜3
所以c≤6-6ln6。
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