题目内容

(第三、四层次学校的学生做次题)
已知二次函数h(x)=ax2+bx+c(c>0),其导函数y=h′(x)的图象如下,且f(x)=lnx-h(x).
(1)求a,b的值;
(2)若函数f(x)在(
1
2
,m+
1
4
)
上是单调递减函数,求实数m的取值范围;
(3)若函数y=2x-lnx(x∈[1,4])的图象总在函数y=f(x)的图象的上方,求c的取值范围.
分析:(1)h′(x)=2ax+b,由图象可知过A(2,-1)、B(0,3)两点,从而得关于a,b的方程组,解出即可;
(2)求出函数f(x)的定义域,利用导数可求得函数的单调减区间,由题意知,区间(
1
2
,m+
1
4
)
为函数f(x)减区间的子集,由此得不等式,注意区间端点间的大小关系;
(3)由题意可知,2x-lnx>x2-3x-c+lnx在x∈[1,4]上恒成立,即当x∈[1,4]时,c>x2-5x+2lnx恒成立,令g(x)=x2-5x+2lnx,x∈[1,4],则问题可转化为c>g(x)max,利用导数易求g(x)max
解答:解:(1)h′(x)=2ax+b,其图象为直线,且过A(2,-1)、B(0,3)两点,
4a+b=-1
b=3
,解得
a=-1
b=3

(2)由题意可知,f(x)的定义域为(0,+∞),
由(1)知,f(x)=lnx+x2-3x-c,f′(x)=2x-3+
1
x
=
2x2-3x+1
x

令f′(x)=0,得x=
1
2
或x=1,
当0<x<
1
2
或x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当
1
2
<x<1时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
所以f(x)的单调减区间为(
1
2
,1),
要使函数f(x)在区间(
1
2
,m+
1
4
)
上是单调递减函数,
1
2
<m+
1
4
m+
1
4
≤1
,解得
1
4
<m≤
3
4

故实数m的取值范围是(
1
4
3
4
];
(3)由题意可知,2x-lnx>x2-3x-c+lnx在x∈[1,4]上恒成立,即当x∈[1,4]时,c>x2-5x+2lnx恒成立,
设g(x)=x2-5x+2lnx,x∈[1,4],则c>g(x)max
易知g′(x)=2x-5+
2
x
=
2x2-5x+2
x
=
(2x-1)(x-2)
x

令g′(x)=0得,x=
1
2
或x=2,
当x∈(1,2)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(2,4)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.
而g(1)=1-5×1+2ln1=-4,g(4)=42-5×4+2ln4=-4+4ln2,
显然,g(1)<g(4),故函数g(x)在[1,4]上的最大值为g(4)=-4+4ln2,
故c>-4+4ln2,
所以c的取值范围为(-4+4ln2,+∞).
点评:本题考查二次函数的性质、利用导数研究函数的单调性、最值,考查函数恒成立问题,考查转化思想.
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