Question

（2013•浙江二模）已知函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x定义域为[-2，t]（t＞-2）．
（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（Ⅱ）当1＜t＜4时，求满足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2的x₀的个数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求导，要使函数f（x）在[-2，t]上为单调函数，则导数符号不变化．
（Ⅱ）将方程零点个数问题，转化为方程解的个数问题．然后利用函数与方程去求解．

解答：（1）解：因为f'（x）=（x²-3x+3）e^x+（2x-3）e^x=x（x-1）e^x   由f'（x）＞0得x＞1或x＜0；由f'（x）＜0得0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，欲f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0．-----（7分）
（3）因为

f′(x0)

ex0

=x02-x0，所以由

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，即为x02-x0=

2

3

(t-1)2，
令g(x)=x2-x-

2

3

(t-1)2，从而问题转化为求方程g(x)=x2-x-

2

3

(t-1)2=0在[-2，t]上的解的个数，--------（10分）
因为g(-2)=6-

2

3

(t-1)2=-

2

3

(t+2)(t-4)，g(t)=t(t-1)-

2

3

(t-1)2=

1

3

(t+2)(t-1)，
所以当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，但由于g(0)=-

2

3

(t-1)2＜0，
所以g（x）=0在[-2，t]上有两解．
即，满足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2的x₀的个数为2．--------（14分）

点评：本题的考点是利用导数研究函数的单调性以及函数的最值问题，综合性较强．