题目内容
已知函数
,
,且
点
处取得极值．
（Ⅰ）求实数
的值；
（Ⅱ）若关于
的方程
在区间
上有解，求
的取值范围；
（Ⅲ）证明：
．
【答案】（1）
；（2）
；（3）证明见解析.
试题解析：（Ⅰ）∵，∴
∵函数在点处取得极值，
∴
，即当时
，
∴
，则得.经检验符合题意
（Ⅱ）∵,∴
,
∴
.
令
,
则
.
∴当
时，
随的变化情况表：
|
| 1 | （1,2） | 2 | （2，3） | 3 |
|
| + | 0 | - | ||
|
| ↗ | 极大值 | ↘ |
计算得：
，
，
，
所以的取值范围为。
（Ⅲ）证明：令
，
则
，
令
，则
，
函数
在
递增，在上的零点最多一个
又
，
，
存在唯一的
使得
，
且当
时，
；当
时，
.
即当时，
；当时，
.
在
递减，在
递增，
从而
.
由得
即
，两边取对数得：
，
，
，
从而证得.
练习册系列答案
相关题目
，且当
∈[－3，－2]时，
，则
的值是____________．
对定义域
内的任意
都有
，且当
时，其导数
满足
，若
，则 （ ）
B．
，其导函数为
处的切线
的方程;
＋…＋
＞
(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边( )
B．增加了一项
，并减少了
和
，BC=3,过点C作圆O的切线
,过点A作
是等差数列，且
，数列
是等比数列，且
，则