Question

已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数，a、b∈R，对题“若a+b≥0，则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.

(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；

(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论.

Answer 1

解析：(1)逆命题是：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)，则a+b≥0，真命题.

用反证法证明：假设a+b＜0，则a＜-b,b＜-a.

∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数，则f(a)＜f(-b)f(b)＜f(-a)，∴f(a)+f(b)＜f(-a)+f(-b)，这与题相矛盾，

∴逆命题为真.

(2)逆否命题：若f(a)+f(b)＜f(-a)+f(-b)，则a+b＜0，真命题.

∵一个命题它的逆否命题，∴转化为证明原命题为真命题

∵a+b≥0，∴a≥-b,b≥-a.

又∵f(x)在(-∞,+∞)上为增函数，

∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).

∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).原命题真.

∴逆否命题为真.

温馨提示

若证明一个命题的真假性较困难时，常转化为证明其逆否命题的真假性.