Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点，直线,设圆的半径为，圆心在上．

（Ⅰ）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；

（Ⅱ）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）或者；（2）

【解析】

试题分析：（1）由题意分析可知，圆心C既在直线上，又在直线上，所以C为两条直线的交点，由解得C(3，2)，所以圆C的方程为，过点A作圆C的切线，显然切线的斜率存在，设为k，则切线方程为，由于直线与圆C相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，即，，解得或，所以所求切线方程为或；（2）设圆心C(a,2a-4)，则圆C的方程为，设圆C上点M(x,y)，根据，有，整理得到点M(x,y)的轨迹方程为，设此方程为圆D，则点M既在圆C上，又在圆D上， 所以转化为圆C与圆D有交点，根据圆与圆的位置关系有：，，即可求出的取值范围。

试题解析：(1)由得圆心C为(3,2),∵圆的半径为

∴圆的方程为:

显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为,即

∴∴∴∴或者

∴所求圆C的切线方程为: 或者

即或者

(2)解:∵圆的圆心在在直线上,所以,设圆心C为(a,2a-4)

则圆的方程为:

又∵∴设M为(x,y)则整理得: 设为圆D

∴点M应该既在圆C上又在圆D上 即:圆C和圆D有交点

∴ 由得

由得

终上所述, 的取值范围为: