Question

在△ABC中，已知cosB=

2 5

5

，cosC=-

5

5

，△ABC的面积S_ABC=1，a，b，c是角A、B、C的对边，求a，b，c．

Answer 1

分析：由cosB与cosC的值，以及B与C为三角形内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB与sinC的值，利用正弦定理列出关系式，将sinB与sinC的值代入得到b与c的关系式，如图所示得到a=ccosB+bcosC，利用三角形面积公式列出关系式，将各自的值代入得到关于b与c的关系式，联立两关系式求出b与c的值，即可确定出a的值．

解答：解：∵cosB=

2 5

5

，cosC=-

5

5

，B与C为三角形的内角，
∴sinB=

1-cos2B

=

5

5

，sinC=

1-cos2C

=

2 5

5

，
根据题意定理得：

b

sinB

=

c

sinC

，即bsinC=csinB，
∴2b=c   ①，
∵a=ccosB+bcosC，S_△ABC=1，
∴

1

2

acsinB=1，即

1

2

×（

2 5

5

c-

5

5

b）×c×

5

5

=1，
∴2c²-bc=10   ②，
联立①②，解得：b=

15

3

，c=

2 15

3

，
则a=

5 3

3

，b=

15

3

，c=

2 15

3

．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，三角形的面积公式，正弦定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．