Question

已知函数．

（Ⅰ）若为定义域上的单调增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，求函数的最大值；

（Ⅲ）当时，且，证明：.

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)  

(3)根据题意，构造函数，利用导数判定单调性的运用，然后求证明不等式。

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ），   ∴

因为为定义域上的单调增函数，由对恒成立，   ∴，而，所以

∴当时，为定义域上的单调增函数

（Ⅱ）当时，由，得

当时，，当时，

∴在时取得最大值，∴此时函数的最大值为

（Ⅲ） 当时，在上递增

令

在上总有，即在上递增

当时，，

即

令，,在上递减, ∴  即，  ∵，∴，综上成立，其中．

考点：函数的单调性

点评：主要是考查了函数的单调性和导数符号之间关系的运用，属于中档题。