Question

△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证B＜

π

2

Answer 1

分析：方法一； 使用余弦定理，由已知求出b=

2ac

a+c

，计算cosB=

a2+c2-b2

2ac

＞0，故B＜

π

2

方法二：反证法，假设B≥

π

2

，则 b为最大边，有b＞a＞0，b＞c＞0．
则

1

b

＜

1

a

，

1

b

＜

1

c

，可得

2

b

＜

1

a

+

1

c

，
与已知矛盾，

解答：证明：方法一：已知

1

a

+

1

c

=

2

b

．
得b=

2ac

a+c

，
a2+c2-b2=a2+c2-(

2ac

a+c

)2≥2ac-

4a2c2

(a+c)2

=2ac(1-

2ac

(a+c)2

)≥2ac(1-

2ac

4ac

)＞0．
即cosB=

a2+c2-b2

2ac

＞0
故B＜

π

2

法2：反证法：假设B≥

π

2

．
则有b＞a＞0，b＞c＞0．
则

1

b

＜

1

a

，

1

b

＜

1

c

可得

2

b

＜

1

a

+

1

c

与已知矛盾，
假设不成立，原命题正确．

点评：方法一； 使用余弦定理，方法二，使用反证法，方法二比较简单．