Question

已知正实数x，y，设a=x+y，．
（1）当y=1时，求的取值范围；
（2）若以a，b为三角形的两边，第三条边长为c构成三角形，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）法一：当y=1时，x=a-1，由x，y均为正实数，代入，可得，进而根据二次函数的图象和性质得到的取值范围；
法二：当y=1时，根据a=x+y，，可将化为的形式，进而利用基本不等式求出的取值范围；
（2），则，由于a，b，c为三角形的三边，由“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”构造关于k的不等式组，进而根据对勾函数的单调性，求出的取值范围．
解答：解：（1）由题设知，x=a-1，且a=x+1＞1
所以，
又
结合二次函数的图象知
故的取值范围为
另解：
=，∵∴，得的取值范围为
（2）设，则
∵恒成立，
即，恒成立
令，由于在[1，+∞）是增函数，令，则
又∵∴，
得的取值范围为（1，25）
点评：本题考查的知识点是函数的值域，基本不等式在求函数最值时的应用，对勾函数的单调性，其中（1）的关键是将的表达式，根据已知进行变形，为二次函数性质的应用或基本不等式的应用创造条件，（2）的关键是设，并根据三角形的三边“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”构造关于k的不等式组．