Question

已知正实数x，y，设a=x+y，b=

x2+7xy+y2

．
（1）当y=1时，求

b

a

的取值范围；
（2）若以a，b为三角形的两边，第三条边长为c构成三角形，求

c2

xy

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）法一：当y=1时，x=a-1，由x，y均为正实数，代入b=

x2+7xy+y2

，可得

b

a

=

-5( 1 a - 1 2 )2+ 9 4

，进而根据二次函数的图象和性质得到

b

a

的取值范围；
法二：当y=1时，根据a=x+y，b=

x2+7xy+y2

，可将

b

a

化为

1+ 5 x+2+ 1 x

的形式，进而利用基本不等式求出

b

a

的取值范围；
（2）

c2

xy

=k，则c=

k•xy

，由于a，b，c为三角形的三边，由“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”构造关于k的不等式组，进而根据对勾函数的单调性，求出

c2

xy

的取值范围．

解答：解：（1）由题设知，x=a-1，且a=x+1＞1
所以，

b

a

=

(a-1)2+7(a-1)+1

a

=

a2+5a-5 a2

=

-5( 1 a - 1 2 )2+ 9 4

又a=x+1＞1⇒

1

a

∈(0，1)
结合二次函数的图象知1＜-5(

1

a

-

1

2

)2+

9

4

≤

9

4

故

b

a

的取值范围为(1，

3

2

]
另解：

b

a

=

x2+7x+1

x+1

=

x2+7x+1 x2+2x+1

=

1+ 5x x2+2x+1

=

1+ 5 x+2+ 1 x

，∵x+2+

1

x

≥4，0＜

5

x+2+ 1 x

≤

5

4

∴1＜

b

a

≤

3

2

，得

b

a

的取值范围为(1，

3

2

]
（2）设

c2

xy

=k，则c=

k•xy

∵

c＜(x+y)+ x2+7xy+y2 c＞ x2+7xy+y2 -(x+y)

恒成立，
即

k ＜ (x+y)+ x2+7xy+y2 xy k ＞ x2+7xy+y2 -(x+y) xy

k ＜ x y + y x +2 + x y + y x +7 k ＞ x y + y x +7 - x y + y x +2

，恒成立
令

x

y

=t，由于y=t+

1

t

在[1，+∞）是增函数，令f(t)=

t+ 1 t +7

+

t+ 1 t +2

，则f(t)=

t+ 1 t +7

+

t+ 1 t +2

≥

9

+

4

=5
又∵

t+ 1 t +7

-

t+ 1 t +2

=

5

t+ 1 t +7 + t+ 1 t +2

≤1∴1＜

k

＜5，1＜k＜25，
得

c2

xy

的取值范围为（1，25）

点评：本题考查的知识点是函数的值域，基本不等式在求函数最值时的应用，对勾函数的单调性，其中（1）的关键是将

b

a

的表达式，根据已知进行变形，为二次函数性质的应用或基本不等式的应用创造条件，（2）的关键是设

c2

xy

=k，并根据三角形的三边“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”构造关于k的不等式组．