Question

【题目】设函数，.

（1）讨论在上的单调性；

（2）当时，若存在正实数，使得对，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）对求导，得到增区间，得到减区间，注意对讨论. （2）要使得对，都有，只需研究，，使得对任意，都有，去掉绝对值号有，令，对求导 ，分和两种情况研究单调性和最小值，注意这一特殊函数值.

解：（1）由，得，

∵，∴，

当时，

由，得，即函数在上单调递增，

由，得，即函数在上单调递减；

当，在上恒成立，即函数在上单调递增.

综合以上有，

，即函数在上单调递增.

，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知，

当时，在上单调递减，且

，使得对任意，都有，此时，

则由，得.

设，

令得，令得.

若，则，

∵，

∴在上单调递减，注意到，

∴对任意，，与题设不符；

若，则，，

∴在上单调递增，

∵，∴对任意，符合题意.

此时取，

可得对任意，都有.

综上所述，的取值范围为.