题目内容
【题目】设函数
，
.
（1）讨论
在
上的单调性；
（2）当
时，若存在正实数
，使得对
，都有
，求实数
的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）对
求导，
得到增区间，
得到减区间，注意对
讨论. （2）要使得对
，都有
，只需研究
，
，使得对任意
，都有
，去掉绝对值号有
，令
，对求导 ，分
和
两种情况研究单调性和最小值，注意
这一特殊函数值.
解：（1）由
，得
，
∵
，∴
，
当
时，
由，得
，即函数
在
上单调递增，
由，得
，即函数在
上单调递减；
当
，
在
上恒成立，即函数在上单调递增.
综合以上有，
，即函数在上单调递增.
，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，
当时，在上单调递减，且
，使得对任意，都有，此时，
则由，得.
设，
令
得
，令
得
.
若，则
，
∵
，
∴
在
上单调递减，注意到，
∴对任意，
，与题设不符；
若，则
，
，
∴在
上单调递增，
∵，∴对任意
，
符合题意.
此时取
，
可得对任意
，都有
.
综上所述，的取值范围为
.
名校课堂系列答案
【题目】秉承“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市环保部门通过制定评分标准，先对本市的企业进行评估，评出四个等级，并根据等级给予相应的奖惩，如下表所示：
评估得分 |
|
|
|
|
评定等级 | 不合格 | 合格 | 良好 | 优秀 |
奖励（万元） |
|
|
|
|
环保部门对企业评估完成后，随机抽取了
家企业的评估得分（
分）为样本，得到如下频率分布表：
评估得分 |
|
|
|
|
|
|
频率 |
|
|
|
|
|
|
其中
、
表示模糊不清的两个数字，但知道样本评估得分的平均数是
.
（1）现从样本外的数百个企业评估得分中随机抽取
个，若以样本中频率为概率，求该家企业的奖励不少于
万元的概率；
（2）现从样本“不合格”、“合格”、“良好”三个等级中，按分层抽样的方法抽取
家企业，再从这家企业随机抽取
家，求这两家企业所获奖励之和不少于
万元的概率.
【题目】现在进入“互联网+”时代，大学生小张自己开了一家玩具店，他通过“互联网+”销售某种玩具，经过一段时间对一种玩具的销售情况进行统计，得5数据如下：
假定玩具的销售量
（百个）与玩具的销售价价格
（元）之间存在相关关系：
销售量 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 |
单个玩具的销售价 | 5.5 | 4.3 | 3.9 | 3.8 | 3.7 | 3.6 |
根据以上数据，小张分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：
，方程乙：
.
（1）以为解释变量，为预报变量，作出散点图；
（2）分别计算模型甲与模型乙的残差平方和
及
，并通过比较，大小，判断哪个模型拟后效果更好.
（3）若—个玩具进价0.5元，依据（2）中拟合效果好的模型判断该玩具店有无亏损的可能？