Question

设函数f(x)=1-2sin2x-cos(2x+

π

3

)
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）△ABC的三边a，b，c所对的内角分别为A，B，C，若b=5，且f(

B

2

)=1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角公式、两角和与差的正余弦公式进行化简，可得f（x）=sin(2x+

π

6

)，再利用三角函数的周期公式加以计算，可得f（x）的最小正周期；
（2）由f(

B

2

)=1得sin(B+

π

6

)=1，结合B为三角形的内角算出B=

π

3

．然后根据余弦定理与基本不等式，推出当且仅当a=c时，ac有最大值为25．由此利用三角形的面积公式，即可算出△ABC面积的最大值．

解答：解：（1）∵cos2x=1-2sin²x，cos（2x-

π

3

）=cos

π

3

cos2x-sin

π

3

sin2x=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x，
∴f(x)=cos2x-(

1

2

cos2x-

3

2

sin2x)=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=sin(2x+

π

6

)，
因此，函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵f（x）=sin(2x+

π

6

)，∴f(

B

2

)=sin(B+

π

6

)=1，
又∵B∈（0，π），可得B+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），
∴B+

π

6

=

π

2

，可得B=

π

3

．
因此，根据余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
整理得：a²+c²-ac=b²=25．
又∵根据基本不等式，得a²+c²≥2ac，
∴ac≤a²+c²-ac=25，当且仅当a=c时，等号成立．
由此可得：S△ABC=

1

2

ac•sinB≤

25

2

•

3

2

=

25 3

4

，
当a=c=5时，△ABC面积的最大值为

25 3

4

．

点评：本题将一个三角函数式进行化简，求函数的最小正周期并依此求三角形面积的最大值．着重考查了三角恒等变换公式、基本不等式、余弦定理与三角形的面积公式等知识，属于中档题．