Question

若a、b、c均为实数且a=x²-2y+1，b=y²-2z+2，c=z²-2x+2．求证：a、b、c中至少有一个大于0．

Answer 1

证明：假设a，b，c均不大于0，即x²-2y+1≤0，y²-2z+2≤0，z²-2x+2≤0，…（4分）
由不等式的可加性得：x²-2y+1+y²-2z+2+z²-2x+2≤0，…（8分）
即（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+2≤0，…（10分）
这显然不成立，故假设不正确，所以，a、b、c中至少有一个大于0． …（12分）
分析：假设a，b，c均不大于0，由条件和不等式的性质可以推出矛盾，可得假设不正确，从而命题得证．
点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点，属于中档题．