Question

在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足4a²cosB-2accosB=a²+b²-c²．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设

m

=(sin2A，-cosC)，

n

=(-

3

，1)，

m

•

n

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由余弦定理求得cosB=

1

2

，再由B∈（0，

π

2

）可得 B的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A+C=

2π

3

，C=

2π

3

-A，根据△ABC是锐角三角形，求出角A的范围，由两角差的余弦公式化简

m

•

n

的解析式为cos（2A+

π

3

），由2A+

π

3

的范围，进而得到cos（2A+

π

3

）的范围，由此求得

m

•

n

=cos（2A+

π

3

）的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵4a²cosB-2accosB=a²+b²-c² ，
∴4a²cosB-2ac

a2+c2-b2

2ac

=a²+b²-c² ．∴cosB=

1

2

．
再由B∈（0，

π

2

），可得  B=

π

3

．
（Ⅱ）∵

m

=(sin2A，-cosC)，

n

=(-

3

，1)，
∴

m

•

n

=-

3

sinA-2cos2C=-

3

sinA-2cos（

4π

3

-2A）=

1

2

cos2A-

3

2

sin2A=cos（2A+

π

3

）． 
由（Ⅰ）可得A+C=

2π

3

，股 C=

2π

3

-A．
∵△ABC是锐角三角形，∴0＜

2π

3

-A＜

π

2

，∴

π

6

＜A＜

π

2

，故 2A+

π

3

∈（

2π

3

，

4π

3

），
∴-1≤cos（2A+

π

3

）＜-

1

2

，∴

m

•

n

∈[-1，-

1

2

），
即

m

•

n

的取值范围为[-1，-

1

2

）．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，余弦定理，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．