Question

18．已知抛物线y²=8x的焦点到双曲线E：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离不大于$\sqrt{3}$，则双曲线E的离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$]
• B． （1，2]
• C． [$\sqrt{2}$，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到．

解答 解：抛物线y²=8x的焦点为（2，0），
双曲线E：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为bx+ay=0，
则焦点到渐近线的距离d=$\frac{2b}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$≤$\sqrt{3}$，
即有2b≤$\sqrt{3}$c，
∴4b²≤3c²，
∴4（c²-a²）≤3c²，
∴e≤2，
∵e＞1，
∴1＜e≤2
故选：B．

点评 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式，考查离心率的求法，属于中档题．