Question

将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=，
（Ⅰ）求证：DE⊥AC；
（Ⅱ）求DE与平面BEC所成角的正弦值；
（Ⅲ）直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE，若存在，求点M的位置，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）以A为坐标原点AB，AD，AE所在的直线分别 为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则， 做BD的中点F并连接CF，AF， 由题意可得CF⊥BD且， 又∵平面BDA⊥平面BDC， ∴CF⊥平面BDA， 所以C的坐标为， ∴， ∴， 故DE⊥AC。 （Ⅱ）设平面BCE的法向量为， 则， ∴， 令x=1得，， 又， 设DE与平面BCE所成角为θ， 则； （Ⅲ）假设存在点M使得CM∥面ADE， 则，， ∴，得， 又因为AE⊥平面ABD，AB⊥BD， 所以AB⊥平面ADE， 因为CM∥面ADE， 则， 得， ∴， 故点M为BE的中点时，CM∥面ADE。