Question

（2006•宣武区一模）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使二面角A-BD-C为60°，有如下四个结论：以上结论正确的为

①②

．（写出所有正确结论的序号）
①AC⊥BD；
②点A到平面BCD的距离为

6

2

；
③AB与平面BCD成60°的角；
④平面ABC⊥平面ACD．

Answer 1

分析：对于①，利用线面垂直的判定定理，结合正方形的性质证出BD⊥平面ACO，从而AC⊥BD，故①正确；对于②，根据面面垂直判定得出平面ACO⊥平面BCD，因此作AE⊥AO于E，得AE⊥平面BCD，所以AE就是A到平面BCD的距离，然后在正△AOC中利用题中数据，算出AE的长，得②正确；对于③，连结BE，由前面的结论得到∠ABE就是AB与平面BCD所成的角，利用三角函数的定义算出sin∠ABE≠

3

2

，从而得到③不正确；对于④，根据面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理，采用反证法加以证明可得平面ABC与平面ACD不垂直，从而得④不正确．由此可得本题答案．

解答：解：设正方形的对角线交于点O
对于①，因为折叠后满足BD⊥AO且BD⊥CO，结合AO∩C0=0
可得BD⊥平面ACO，从而得到AC⊥BD，故①正确；
对于②，由BD⊥平面ACO且BD?平面BCD，得平面ACO⊥平面BCD
因此作AE⊥AO于E点，可得AE⊥平面BCD，
所以AE就是A到平面BCD的距离
∵∠AOC=60°，就是二面角A-BD-C的平面角
∴△AOC为正三角形，其边长等于

2

2

AB=

2

，因此AE=

3

2

AO=

6

2

，可得②正确；
对于③，连结BE，由②的结论得到∠ABE就是AB与平面BCD所成的角
∵Rt△ABE中，AE=

6

2

，AB=2，∴sin∠ABE=

AE

AB

=

6

4

，
因此AB与平面BCD不成60°的角，故③不正确；
对于④，用反证法
设平面ABC⊥平面ACD，过D作DF⊥AC于点F，
由面面垂直的性质定理，得到DF⊥平面ABC，从而得到DF⊥BC
又∵CD⊥BC，DF∩CD=D，∴BC⊥平面ACD
∵AC?平面ACD，∴BC⊥AC，得∠ACB=90°
而∠ACB为等腰△ABC的底角，故∠ACB=90°是不可能的
因此假设不成立，从而得到平面ABC与平面ACD不垂直
综上所述，正确的选项为①②
故答案为：①②

点评：本题给出正方形沿对角线折叠，判定线面、面面位置关系和空间距离的几个结论是否正确．着重考查了二面角的平面角的定义、线面垂直的判定与性质、面面垂直判定定理和直线与平面所成角等知识，属于中档题．