题目内容

已知幂函数f（x）= $数学公式$ （m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）= $数学公式$ ，若g（x）=0的两个实根分别在区间（-3，-2），（0，1）内，求实数b的取值范围．

解：（1）∵幂函数f（x）= $\text{[math]}$ （m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数
∴-m²+2m+3＞0
∴-1＜m＜3
∵m∈Z，函数f（x）为偶函数
∴m=1，此时f（x）=x⁴；
（2）g（x）= $\text{[math]}$ =x²+（2b+1）x-b-1
∵g（x）=0的两个实根分别在区间（-3，-2），（0，1）内，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用幂函数f（x）= $\text{[math]}$ （m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数，可得不等式，由此可求函数f（x）的解析式；
（2）利用g（x）=0的两个实根分别在区间（-3，-2），（0，1）内，可得 $\text{[math]}$ ，由此可求实数b的取值范围．
点评：本题考查幂函数，考查函数的单调性与奇偶性，考查方程根问题，属于中档题．