Question

在正项等比数列a_n中，a₁＜a₄=1，若集合，则集合A中元素的个数为    ．

Answer 1

【答案】分析：设公比为q，根据a₁＜a₄=1⇒a₁=q^-3，则（a1-）+（a2-）+…+（an-）=-然后化简并将a₁=q^-3，并化简，得出 q^n-7-1≤0，就可以求出结果．
解答：解：设公比为q
∵a₁＜a₄=a₁q³=1
∴0＜a₁＜1  1＜q³  q＞1     ①
∴a₁=q^-3        ②
∴（a1-）+（a2-）+…+（an-）
=（a1+a2+…+an）-（++…+）  （后一个首项，公比）
=-
=[（q^n-1）/a（q-1）q^n-1）][a₁²q^n-1-1]
代入②
原式=[q^n-1/a（q-1）q^n-1]•[q^n-7-1]≤0
∵q^n-1/a（q-1）q^n-1＞0
∴q^n-7-1≤0
q^n-7≤1
∴n-7≤0
解得n≤7
故答案为7．
点评：本题考查等比数列的性质，化简计算是本题的关键，属于中档题．