Question

抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x₀,y₀)(x ₀≠0)作斜率为k₁,k₂的两条直线分别交抛物线C于A(x₁,y₁)B(x₂,y₂)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；
（Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）由抛物线的方程（）得，焦点坐标为，准线方程为．
（Ⅱ）证明：设直线的方程为，直线的方程为．
点和点的坐标是方程组的解．将②式代入①式得，于是，故　③
又点和点的坐标是方程组的解．将⑤式代入④式得．于是，故．
由已知得，，则．　　⑥
设点的坐标为，由，则．
将③式和⑥式代入上式得，即．
∴线段的中点在轴上．
（Ⅲ）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为．
由③式知，代入得．
将代入⑥式得，代入得．
因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为
，．
于是，，
．
因为钝角且、、三点互不相同，故必有．
求得的取值范围是或．又点的纵坐标满足，故当时，；当时，．即

将直线方程和抛物线方程组成的方程组转化为一元二次方程，用韦达定理来求解.点评：解析几何解题思维方法比较简单，但对运算能力的要求比较高，平时练习要注意提高自己的运算能力.