Question

直四棱柱中,,为等边三角形, 且.

(Ⅰ)求与所成角的余弦值；

(Ⅱ)求二面角的大小；

(Ⅲ)设是上的点,当为何值时,平面？并证明你的结论.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵是直四棱柱，

         ∴，且，

         ∴四边形是平行四边形，

         ∴，

         即（或其补角）是与所成的角．

         连接，在三角形中，，，

∴．

   故与所成角的余弦值为．

(Ⅱ)设，则，连接，

   ∵平面，

∴为在平面内的射影，

∴，

   则为二面角的平面角．

   在中，，，，

故二面角的大小为．

（Ⅲ）在上取点，使得，连接，

      ∵，

      又，且，

      ∴，

      ∴四边形是一个正方形．

可证，又，

∴平面，此时．

故当时，有平面．