题目内容
下表给出一个“等差数阵”．
其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．
(1)写出a45的值．
(2)写出aij的计算公式．
(3)证明正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N＋1可以写成两个不是1的正整数之积．
解析：
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解：(1)a41＝a11＋(4－1)×3＝13 a42＝a12＋(4－1)×5＝22 a45＝a41＋(5－1)×9＝49 (2)ai1＝a11＋(i－1)×3＝3i＋1 ai2＝a12＋(i－1)×5＝5i＋2 aij＝ai1＋(j－1)×(2i＋1)＝i＋j＋2ij (3)若N是该数阵中的数，则可令N＝aij 故N＝i＋j＋2ij(i，j∈N*) ∴2N＋1＝2i＋2j＋4ij＋1＝(2i＋1)(2j＋1) ∴2N＋1能写成两个不是1的正整数之积． 若2N＋1＝p·q，N、p、q都是正整数， 且p、q不为1． ∵2N＋1是奇数，∴p、q都是奇数． 不妨设p＝2i＋1，q＝2j＋1，i，j∈N* ∴2N＋1＝(2i＋1)(2j＋1) N＝i＋j＋2ij＝aij ∴N是该数阵中第i行第j列的数． |
下表给出一个“等差数阵”：
| 4 | 7 | （ ） | （ ） | （ ） | …… |
| …… |
| 7 | 12 | （ ） | （ ） | （ ） | …… |
| …… |
| （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | …… |
| …… |
| （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | …… |
| …… |
| …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… |
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| …… |
| …… |
| …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… |
其中每行、每列都是等差数列，
表示位于第i行第j列的数。
（I）写出
的值；（II）写出的计算公式；
4 | 7 | （ ） | （ ） | （ ） | … | a1j | … |
7 | 12 | （ ） | （ ） | （ ） | … | a2j | … |
（ ） | （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | … | a3j | … |
（ ） | （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | … | a4j | … |
… | … | … | … | … | … | … | … |
ai1 | ai2 | ai3 | ai4 | ai5 | … | aij | … |
… | … | … | … | … | … | … | … |
其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第 i 行第 j 列的数.
（Ⅰ）写出a45的值；
（Ⅱ）写出aij的计算公式;
（Ⅲ）证明:正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N＋1可以分解成两个不是1的正整数之积.