Question

4．已知圆C：x²+y²+4y-21=0内有一点M（-3，-3），AB为过点M的弦．
（1）当AB的倾斜角为135°时，求AB的长；
（2）求AB的中点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）求出直线AB的方程，利用圆的圆心到直线的距离与半径半弦长的关系推出结果即可．
（2）法1：设点P的坐标为（x，y），若P、M、C三点不共线时，得到|CM|²=|MP|²+|CP|²，的轨迹方程，若P、M重合时，即P（-3，-3），验证结果．推出结论．
法2：设点P的坐标为（x，y），当x≠0且x≠-3时，通过k_CP•k_AB=-1，求解点P的轨迹方程．
法3：设点P的坐标为（x，y），通过$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{MP}=0$，得到点P的轨迹方程．

解答 解：（1）由题意得，圆心C（0，-2），半径r=5．
当α=135°时，直线AB的斜率k=tan135°=-1，…（2分）
∴直线AB的方程为：y+3=-（x+3），即x+y+6=0，
∴圆心C到直线AB的距离为：$d=\frac{|0-2+6|}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}$，…（4分）
由垂径定理得，$|AB|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{25-8}=2\sqrt{17}$．…（6分）
（2）法1：设点P的坐标为（x，y），…（7分）
若P、M、C三点不共线时，则|CM|²=|MP|²+|CP|²，…（9分）
即10=（x+3）²+（y+3）²+x²+（y+2）²，
化简得，x²+y²+3x+5y+6=0．   （*） …（11分）
若P、M重合时，即P（-3，-3），则（-3）²+（-3）²-9-15+6=9+9-9-15+6=0也满足上述方程（*）…12分．                                        …（12分）
若P、C重合时，即P（0，-2），则0²+（-2）²+0-10+6=0也满足上述方程（*）． …（13分）
综上所述，点P的轨迹方程为x²+y²+3x+5y+6=0（或${（x+\frac{3}{2}）^2}+{（y+\frac{5}{2}）^2}=\frac{5}{2}$）．…（14分）
法2：设点P的坐标为（x，y），…（7分）
当x≠0且x≠-3时，由题意有，CP⊥AB，则k_CP•k_AB=-1，…（9分）
又${k_{CP}}=\frac{y+2}{x}$，${k_{AB}}={k_{PM}}=\frac{y+3}{x+3}$，
∴$\frac{y+2}{x}•\frac{y+3}{x+3}=-1$，化简得，x²+y²+3x+5y+6=0，（*）    …（11分）
当x=0或x=-3时，点P（0，-3）或P（0，-2）或P（-3，-2）或P（-3，-3）均满足方程．（13分）
所以点P的轨迹方程为x²+y²+3x+5y+6=0．                …（14分）
法3：设点P的坐标为（x，y），…（7分）
由题意有，$\overrightarrow{CP}⊥\overrightarrow{MP}$，则$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{MP}=0$，…（9分）
∵$\overrightarrow{CP}=（x，y+2）$，$\overrightarrow{MP}=（x+3，y+3）$，…（10分）
∴x（x+3）+（y+2）（y+3）=0，化简得x²+y²+3x+5y+6=0，…（13分）
所以点P的轨迹方程为x²+y²+3x+5y+6=0．…（14分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．