Question

（2013•红桥区二模）如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，且PC=PD=2，M，N分别为棱PC，AD的中点．
（1）求证：BC⊥PD；
（2）求异面直线BM与PN所成角的余弦值；
（3）求点N到平面MBD的距离．

Answer 1

分析：因为侧面PCD⊥底面ABCD，取DC中点O，因为PC=PD=2，则PO⊥交线CD，所以PO⊥底面ABCD，由此可想到利用空间向量来解决该题．
（1）标出所用点的坐标，求出BC和PD所对应向量的坐标，由两向量的数量积等于0可证明BC⊥PD；
（2）求出与BM和PN所对应的向量的坐标，直接利用两向量的夹角公式求异面直线BM与PN所成角的余弦值；
（3）求出平面MBD的一个法向量，在平面MBD内任取一点，和N连结后得到一个向量，直接运用向量求点到面的距离公式求距离．

解答：（1）证明：如图，
因为侧面PCD⊥底面ABCD，取DC中点O，
因为PC=PD=2，则PO⊥交线CD，所以PO⊥底面ABCD，
如图，以OC，OP所在直线分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系，
则A（2，-1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，-1，0），P（0，0，

3

），
N（1，-1，0），

BC

=(-2，0，0)，

PD

=(0，-1，-

3

)，
则

BC

•

PD

=0，所以BC⊥PD；
（2）解：

PN

=(1，-1，-

3

)，

BM

=(-2，-

1

2

，

3

2

)
设异面直线BM与PN所成角为θ，
则cosθ=|

PN • BM

| PN |•| BM |

|=

|-2+ 1 2 - 3 2 |

5 • 5

=

3

5

．
所以异面直线BM与PN所成角的余弦值为

3

5

；
（3）解：因为

BD

=(-2，-2，0)，

BM

=(-2，-

1

2

，

3

2

)．
设平面MBD的一个法向量为

m

=（x，y，z），
由

m • BD =0 m • BM =0

，得

-2x-2y=0 -2x- 1 2 y+ 3 2 z=0

，取y=-1，得x=1，z=-

3

．
所以

m

=(1，-1，-

3

)，又

DN

=(1，0，0)，
所以点N到平面MBD的距离d=

| m • DN |

| m |

=

1

5

=

5

5

．

点评：本题考查了线面垂直的性质，考查了异面直线所成的角，考查了空间中点到面的距离，求解的方法是利用空间向量，解答的关键是熟练掌握利用空间向量求空间角的公式及点到面的距离公式，是中档题．