Question

（2011•延庆县一模）已知函数f(x)=

kx2+x

x+1

-ln(x+1)．
（Ⅰ）当k=1时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若k＞0且k≠1，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；
（II）先求出导函数f'（x），讨论0＜k＜

1

2

，k=

1

2

，

1

2

＜k＜1，k＞1四种情形，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．

解答：解：（Ⅰ）∵k=1，
∴f(x)=

x2+x

x+1

-ln(x+1)=x-ln(x+1)
∴f′(x)=1-

1

x+1

，
∴f′(1)=

1

2

…（2分）
∵f（1）=1-ln2，…（3分）
∴切线方程为y-(1-ln2)=

1

2

(x-1)，
即：y=

1

2

x+

1

2

-ln2…（5分）
（Ⅱ）f′(x)=

(2kx+1)(x+1)-kx2-x

(x+1)

-

1

x+1

=

kx2+(2k-1)x

(x+1)2

…（7分）
令 f'（x）=0，解得x=0，或x=

1-2k

k

…（8分）

令 

1-2k

k

＞0，解得k＜

1

2

，令 

1-2k

k

＞-1，解得k＜1…（10分）
（1）当0＜k＜

1

2

时，

1-2k

k

＞0，
此时f（x）在区间（-1，0）上增，在区间(0，

1-2k

k

)上减，在区间(

1-2k

k

，+∞)上增，…（11分）
（2）当k=

1

2

时，f'（x）≥0，此时f（x）在区间（-1，+∞）上增，…（12分）
（3）当

1

2

＜k＜1时，-1＜

1-2k

k

＜0，
此时f（x）在区间(-1，

1-2k

k

)上增，
在区间(

1-2k

k

，0)上减，在区间（0，+∞）上增，…（13分）
（4）当k＞1时，

1-2k

k

＜-1，
此时f（x）在区间（-1，0）上减，在区间（0，+∞）上增，…（14分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的单调性等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、分类讨论的数学思想，属于基础题．