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精英家教网已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+
3
和2-
3
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过椭圆的右焦点，倾斜角为
π
3
的直线交椭圆于A、B两点，求线段AB的长；
（3）如图，过原点相互垂直的两条直线与椭圆
x2
4
+
y2
2
=1的四个交点构成四边形PRSQ，设直线PS的倾斜角为θ(θ∈(0，
π
2
])，试问：△PSQ能否为正三角形，若能求θ的值，若不能，说明理由．
分析：（1）根据椭圆的性质，可知焦点到长轴的两个端点的距离分别为a+c和a-c，再把所给数值代入，即可得出a，b的值，求出椭圆的方程．
（2）利用弦长公式计算即可，注意设而不求思想的运用．
（3）先假设：△PSQ能为正三角形，设直线PS的方程，则直线RQ的方程也可知，分别与椭圆方程联立，利用弦长公式求出PS与OQ的长度，再根据正三角形中的关系判断即可．
解答：解：（1）由题意得
a+c=2+
3
a-c=2-
3
，解得a=2，c=
3
，b=1
所求的方程为
x2
4
+y2=1
（2）直线方程为y=
3
(x-
3
)，
代入椭圆方程得13x2-24
3
x+32=0，所以
x1+x2=
24
3
13
x1x2=
32
13
，
由弦长公式求得AB=
16
13
．
（3）当P在y轴上，Q在x轴上时，△PSQ不是正三角形． 
当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，P（x1，kx1），则直线RQ的斜率为-
1
k
，Q(x2，-
1
k
x2)
由
y=kx
x2
4
+
y2
2
=1
得
1
x12
=
1
4
+
k2
2
（1），同理
1
x22
=
1
4
+
1
2k2
（2）
由△PSQ为正三角形，得
3
|OP|=|OQ|，即3|OP|2=|OQ|2
所以3[x12+(kx1)2]=x22+(
x2
k
)2，化简得
3k2
x22
=
1
x12
，
3k2(
1
4
+
1
2k2
)=
1
4
+
k2
2
，即k2=-
5
4
＜0．
所以△OPQ不是正三角形．
点评：本题主要考查了椭圆性质的应用，弦长公式的应用，以及韦达定理在解决直线与圆锥曲线位置关系判断中的应用
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已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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