Question

用数学归纳法证明：

12

1•3

+

22

3•5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n(n+1)

2(2n+1)

(n∈N*)．

Answer 1

证明（1）n=1时，
左边

12

(2×1-1)(2×1+1)

=

1

3

=

1×(1+1)

2(2×1+1)

=右边，等式成立
（2）假设n=k时等式成立，
即

12

1•3

+

22

3•5

++

k2

(2k-1)(2k+1)

=

k(k+1)

2(2k+1)

.
则n=k+1时，
左边=

k(k+1)

2(2k+1)

+

(k+1)2

(2k+1)(2k+3)

=

k-1

2(2k+1)

(k+

2k+2

2k+3

)
=

k+1

2(2k+1)

•

2k2+5k+2

2k+3

=

k+1

2(2k+1)

•

(2k+1)(k+2)

2k+3

=

(k+1)(k+2)

2(2k+3)

.
∴n=k+1时，等式成立
由（1）（2）知，对一切n∈N*，

12

1•3

+

22

3•5

++

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n(n+1)

2(2n+1)

.