Question

已知函数f（x）=，（x＞0）
（1）设f（x）在x处取得极值，且x∈（n，n+1），n∈Z，求n的值，并说明x是极大值点还是极小值点；
（2）求证：f（x）∈（5，7）

Answer 1

【答案】分析：（1）对函数f（x）进行求导，根据f（x）在x处取得极值，可得f′（x）=0，利用零点定理证明f′（x）=0在（1，2）内有解，令g（x）=x²+x-2-ln（x+2），利用其导数研究，从而就那些求解；
（2）要证明f（x）∈（5，7），证明f（x）的值域在（5，7），对f（x）进行求导，求出极值，研究其最值问题，从而进行证明；
解答：解：（1）∵函数f（x）= （x＞0）
∴f′（x）=1+--=，
f′（1）=1+-2-ln3=--ln3＜0，
f′（2）=1+--==＞0，
∴f′（x）=0在（1，2）内有解，
g（x）=x²+x-2-ln（x+2），
g′（x）=2x+-=＞0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，∴g（x）=0，在（0，+∞）只有1解，
∴f′（x）=0，（0，+∞）只有一解x，且x∈（1，2）
即n=1；
又x＜x时，f′（x）＜0，x＞x，f′（x）＞0
∴x为极小值点；
（2）f（x）=
∵f′（x）=0，
∴x²+x-2-ln（x+2）=0
得：ln（x+2）=x²+x-2
∴f（x）==+x+=h（x）
其中x∈（1，2）中h（x）单调递增
h（1）=++=，h（2）=×2²+×2+=7
又∵f′（）==（1-ln）＜0
由二分法知：x∈（，2）…（12分）
f（）=×（）²+×+=5，h（2）=7；
∴f（x）∈（5，7）；
点评：此题主要考查函数在某点取得极值的条件，考查的知识点比较全面，综合性比较强，是一道中档题，也是高考的热点问题；