题目内容

已知数列{an}中，a1=1，
an+1
an
=1-
1
(n+1)2
(n∈N*)，则
lim
n→∞
an=
1
2
1
2
．
分析：由a1=1，
an+1
an
=1-
1
(n+1)2
(n∈N*)，知an+1=an[1-
1
(n+1)2
]，a2=1-
1
22
=
3
4
=
1
2
+
1
4
，a3=
3
4
(1-
1
32
)=
2
3
=
1
2
+
1
6
，a4=
2
3
(1-
1
42
)=
5
8
=
1
2
+
1
8
，…，an=
1
2
+
1
2n
，由此能求出
lim
n→∞
an．
解答：解：∵a1=1，
an+1
an
=1-
1
(n+1)2
(n∈N*)，
∴an+1=an[1-
1
(n+1)2
]，
∴a2=1-
1
22
=
3
4
=
1
2
+
1
4
，
a3=
3
4
(1-
1
32
)=
2
3
=
1
2
+
1
6
，
a4=
2
3
(1-
1
42
)=
5
8
=
1
2
+
1
8
，
…
an=
1
2
+
1
2n
，
∴则
lim
n→∞
an=
lim
n→∞
(
1
2
+
1
2n
)=
1
2
．
故答案为：
1
2
．
点评：本题考查数列的极限的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，则
lim
n→∞
an=
 
．
已知数列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，则{an}的通项公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．
已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{
2n
an
}的前n项和Tn．
已知数列{an}中，a1=
1
2
，Sn为数列的前n项和，且Sn与
1
an
的一个等比中项为n(n∈N*），则
lim
n→∞
Sn=
1
1
．
已知数列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，则数列{an}的通项公式为（　　）
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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