Question

（2012•成都一模）已知函数f(x)=

1

2

x2-mln

1+2x

+mx-2m，m＜0．
（I）当m=-1时，求函数y=f(x)-

x

3

的单调区间；
（II）已知m≤-

e

2

（其中e是自然对数的底数），若存在实数x0∈(-

1

2

，

e-1

2

]，使f（x₀）＞e+1成立，证明：2m+e+l＜0；
（III）证明：

n

k=1

8k-3

3k2

＞ln

(n+1)(n+2)

2

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用导数的运算法则即可求出其单调区间；
（Ⅱ）将已知m≤-

e

2

（其中e是自然对数的底数），若存在实数x0∈(-

1

2

，

e-1

2

]，使f（x₀）＞e+1成立，等价于已知m≤-

e

2

，当x∈(-

1

2

，

e-1

2

]时，使f（x）_max＞e+1成立，先求出函数f（x）的最大值，进而即可得出结论．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当m=-1时，函数y=f（x）-

x

3

在区间[-

1

6

，1]上单调递减，所以f（x）-

x

3

＜f（0）．可得

4

3

x-

1

2

x2＞ln

1+2x

．当n∈N^*时，

1

n

∈(0，1]，得

8

3n

-

1

n2

＞ln(1+

2

n

)，即

8n-3

3n2

＞ln

n+2

n

．利用上式即可证得结论．

解答：解：（Ⅰ）当m=-1时，f（x）=

1

2

x2+ln

1+2x

-x+2，∴y=

1

2

x2+ln

1+2x

-

4x

3

+2．
∵

1+2x

≥0，∴x≥-

1

2

，∴此函数的定义域为{x|x＞-

1

2

}．
∵y^′=x+

1

1+2x

-

4

3

=

(x-1)(6x+1)

3(1+2x)

．
令y^′=0，得x=-

1

6

或x=1．
又x＞-

1

2

，当-

1

2

＜x＜-

1

6

，或x＞1时，y^′＞0；当-

1

6

＜x＜1时，y^′＜0．
∴函数y=f（x）-

4

3

x在区间(-

1

2

，-

1

6

)或（1，+∞）上单调递增；在区间(-

1

6

，1)上单调递减．
．（Ⅱ）∵已知m≤-

e

2

（其中e是自然对数的底数），若存在实数x0∈(-

1

2

，

e-1

2

]，使f（x₀）＞e+1成立，
∴上述问题等价于已知m≤-

e

2

，当x∈(-

1

2

，

e-1

2

]时，使f（x）_max＞e+1成立，
下面求当x∈(-

1

2

，

e-1

2

]时，函数求（x）的最大值．
∵m≤-

e

2

，∴0＜

e-1

2

≤-m-

1

2

．
∵f′(x)=x-

m

1+2x

+m=

2x(x+m+ 1 2 )

1+2x

，
∴令f^′（x）=0解得x₁=0，x2=-m-

1

2

．
当-

1

2

＜x＜0时，f^′（x）＞0；当0＜x≤

e-1

2

时，f^′（x）＜0．
∴函数f（x）在区间(-

1

2

，0)上单调递增；在区间(0，

e-1

2

]上单调递减．
故函数f（x）在x=0时取得最大值，且f（0）=-2m，
∴-2m＞e+1，即2m+e+1＜0．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当m=-1时，函数y=f（x）-

x

3

在区间[-

1

6

，1]上单调递减，
∴函数y=f（x）-

x

3

在（0，1]上为减函数．
又函数y=f（x）-

x

3

在x=0处连续，∴f（x）-

x

3

＜f（0）．
即

1

2

x2+ln

1+2x

-

4

3

x+2＜2，亦即

1

2

x2+ln

1+2x

-

4

3

x＜0．
∴

4

3

x-

1

2

x2＞ln

1+2x

．
∴当x∈（0，1]时，有

8

3

x-x2＞ln(1+2x)．
当n∈N^*时，

1

n

∈(0，1]，
∴

8

3n

-

1

n2

＞ln(1+

2

n

)，即

8n-3

3n2

＞ln

n+2

n

．
∴

n

k=1

8k-3

3k2

＞ln

3

1

+ln

4

2

+ln

5

3

+…+ln

n+2

n

=ln

(n+1)(n+2)

2

，
故结论成立．

点评：本题综合考查了利用导数求函数的单调区间、最值及证明不等式，熟练求导和善于转化及利用已证结论是解决问题的关键．