Question

【题目】正三棱柱ABC﹣A1B1C1底面△ABC的边长为3，此三棱柱的外接球的半径为 ，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：设三棱柱外接球的球心为O，球半径为r， 三棱柱的底面三角形ABC的中心为D，如图，

∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1底面△ABC的边长为3，此三棱柱的外接球的半径为 ，
∴OA= ，AD= = ，
∴OD= =2，∴AA1=4，
以A为原点，以过A在平面ABC中作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AA1为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（ ， ，0），
B1（ ， ，4），C1（0，3，4），
=（ ， ，4）， =（﹣ ， ，4），
设异面直线AB1与BC1所成角为θ，
则cosθ= = = ．
∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 ．
所以答案是： ．
【考点精析】掌握异面直线及其所成的角是解答本题的根本，需要知道异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系．