题目内容

在边长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AA₁，CC₁上的点，且AE=C₁F，则四边形EBFD₁的面积最小值为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：这题看起来麻烦，其实很简单，要有几何直观思维，容易得出四边形BED1F是平行四边形，四边形EBFD₁的面积S= $\text{[math]}$ ，作点E到BD₁的垂线交点M，则S=2× $\text{[math]}$ ×EM×BD₁，由BD₁= $\text{[math]}$ ，知求四边形EBFD₁的面积最小值只要求EM最短即可．
解答：

解：如图，四边形EBFD₁的面积S= $\text{[math]}$ ，
作点E到BD₁的垂线交点M，
则S=2× $\text{[math]}$ ×EM×BD₁，
∵BD₁= $\text{[math]}$ ，∴求四边形EBFD₁的面积最小值只要求EM最短即可，
在△AA₁M中，EM最短就是EM垂直AA₁．
中线任一点到点A，B₁，A₁的距离相等，
则MA=MA₁，
则EM最短为AA₁的垂直平分线，
此时EM= $\text{[math]}$ ，
BD₁= $\text{[math]}$ ，
∴四边形EBFD₁的面积最小值：
S_min=2× $\text{[math]}$ ×EM×BD₁=2× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故选C．
点评：本题考查棱锥的结构特征，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．