Question

如图，在三棱锥中， 

（1）求证：平面⊥平面

（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

 （3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析    （2）  直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。   （3）。 

【解析】本试题主要是考查了面面垂直的证明，以及线面角的求解，以及二面角的大小的求解的综合运用。考查了同学们的空间想象能力和逻辑推理能力和计算能力的综合运用。

（1）利用线面垂直的判定定理，求证面面垂直的证明。

（2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量和直线的方向向量，利用数量积的性质得到线面角的求解。

（3）借助于上一问中的向量坐标，平面的法向量的法向量的夹角与二面角的平面角的大小相等或者互补

解：（1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OP⊥OC  由已知易得三角形ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB

∴OP⊥平面ABC, ∵OP在平面PAC中，∴平面⊥平面       4分

（2）  以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0, ),            5分

∴    设平面PBC的法向量，

由得方程组

，取                           6分

∴  ∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。      8分

（2）由题意平面PAC的法向量，

设平面PAM的法向量为 

∵又因为

∴  取

∴         ∴             11分

∴B点到AM的最小值为垂直距离。