Question

设函数f（x）=|2x-m|+4x．
（I）当m=2时，解不等式：f（x）≤1；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤2的解集为{x|x≤-2}，求m的值．

Answer 1

解：（I）当m=2时，函数f（x）=|2x-2|+4x，由不等式f（x）≤1 可得 ①，或 ②．
解①可得x∈∅，解②可得x≤-，故不等式的解集为 {x|x≤- }．
（Ⅱ）∵f（x）=，连续函数f（x） 在R上是增函数，由于f（x）≤2的解集为{x|x≤-2}，
故f（-2）=2，当≥-2时，有2×（-2）+m=2，解得 m=6．
当＜-2时，则有6×（-2）-m=2，解得 m=-14．
综上可得，当 m=6或 m=-14 时，f（x）≤2的解集为{x|x≤-2}．
分析：（I）当m=2时，函数f（x）=|2x-2|+4x，由不等式f（x）≤1 可得 ①，或 ②，分别求出①②的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由f（x）=，可得连续函数f（x） 在R上是增函数，故有f（-2）=2，分当≥-2和当＜-2两种情况，分别求出m的值，即为所求．
点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．