Question

(广东六校联考模拟)设函数f(x)的定义域为R，对任意实数x、y都有f(x＋y)=f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＞0且f(2)=6．

(1)求证：函数f(x)为奇函数；

(2)证明函数f(x)在R上是增函数；

(3)在区间[－4，4]上，求f(x)的最值．

Answer 1

答案：略
解析：

证明：∵，f(x＋y)=f(x)＋f(y)， ∴令x=y=0， 得f(0)=f(0)＋f(0)，　　　　　　　(1分) ∴f(0)=0．　　　　　　　　　　　　(2分) 令y=－x， 得f(0)=f(x)＋f(－x)，　　　　　　　(3分) 即f(－x)=－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数．　　　　　　　　(4分) (2)设，且，　　　　　　(5分) 则．　　(6分) 又∵当x＞0时，f(x)＞0， ∴，　　　　　　　　(7分) 即．　　　　　　　　　　　　　　(8分) ∴函数f(x)在R上是增函数．　　　　　　　　(9分) (3)∵函数f(x)在R上是增函数，∴函数f(x)在区间[－4，4]上也是增函数， (10分) ∴函数f(x)的最大值为f(4)，最小值为f(－4)．　　(11分) ∵f(2)=6，∴f(4)=f(2＋2)=f(2)＋f(2)=12．　　　(12分) ∵函数f(x)为奇函数， ∴f(－4)=－f(4)=－12．　　　　　　　　　　　(13分) 故函数f(x)最大值为12，最小值为－12．　　　　(14分)