题目内容

函数y=ln $数学公式$ 的图象大致为

A.
B.
C.
D.

C
分析：化简函数的解析式为ln（1- $\text{[math]}$ ），求出它的定义域为（0，+∞），y＜0，且y是（0，+∞）上的增函数，结合所给的选项，得出结论．
解答：∵函数y=ln $\text{[math]}$ =ln $\text{[math]}$ =ln（1- $\text{[math]}$ ），由 1- $\text{[math]}$ ＞0 可得x＞0，
故函数的定义域为（0，+∞）．
再由 0＜1- $\text{[math]}$ ＜1，可得 y＜0，且y是（0，+∞）上的增函数，
故选C．
点评：本题主要考查函数的图象特征，函数的定义域和单调性的应用，属于基础题．

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（2012•湖北模拟）设函数f(x)=ln(x+a)-x2．
（1）若a=0，求f（x）在（0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．
（2）若f（x）在区间[1，2]上为减函数，求a的取值范围．
（3）若直线y=x为函数f（x）的图象的一条切线，求a的值．

定义：设函数y=f（x）在（a，b）内可导，f'（x）为f（x）的导数，f''（x）为f'（x）的导数即f（x）的二阶导数，若函数y=f（x）在（a，b）内的二阶导数恒大于等于0，则称函数y=f（x）是（a，b）内的下凸函数（有时亦称为凹函数）．已知函数f（x）=xlnx
（1）证明函数f（x）=xlnx是定义域内的下凸函数，并在所给直角坐标系中画出函数f（x）=xlnx的图象；
（2）对?x₁，x₂∈R⁺，根据所画下凸函数f（x）=xlnx图象特征指出x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]与x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]的大小关系；
（3）当n为正整数时，定义函数N （n）表示n的最大奇因数．如N （3）=3，N （10）=5，…．记S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），若

xi=1，证明：

xilnxi≥-ln2nln

（i，n∈N^*）．

设函数f（x）=ln（x+a）-x²．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）在（0，e]上的最大值；
（Ⅱ）若f（x）在区间[1，2]上为减函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数a，使直线y=x为函数f（x）的图象的一条切线，若存在，求a的值；否则，说明理由．

设函数f(x)＝ln(x＋a)－x²，

(1)若a＝0，求f(x)在(0，m](m＞0)上的最大值g(m)．

(2)若f(x)在区间[1，2]上为减函数，求a的取值范围．

(3)若直线y＝x为函数f(x)的图象的一条切线，求a的值．

已知函数f（x）=lnx-

ax²+bx（a＞0），且f′（1）=0
（1）试用含有a的式子表示b，并求f（x）的单调区间；
（2）设函数f（x）的最大值为g（a），试证明不等式：g（a）＞ln（1+

）-1
（3）首先阅读材料：对于函数图象上的任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），如果在函数图象上存在点M（x，y）（x∈（x₁，x₂）），使得f（x）在点M处的切线l∥AB，则称AB存在“相依切线”特别地，当x=

时，则称AB存在“中值相依切线”．请问在函数f（x）的图象上是否存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切线”？若存在，求出一组A、B的坐标；若不存在，说明理由．