Question

设函数f（x）=ln（x+a）-x²．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）在（0，e]上的最大值；
（Ⅱ）若f（x）在区间[1，2]上为减函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数a，使直线y=x为函数f（x）的图象的一条切线，若存在，求a的值；否则，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=lnx-x²，x＞0，则f′(x)=

1-2x2

x

，利用导数的正负，确定函数的单调性，从而可求f（x）在（0，e]上的最大值；
（Ⅱ）f（x）在区间[1，2]上为减函数，则x∈[1，2]有x+a＞0恒成立，且x∈[1，2]，f′（x）=

1

x+a

-2x≤0恒成立，分离参数，即可求a的取值范围；
（Ⅲ）设切点为P（x₀，y₀），利用直线y=x为函数f（x）的图象的一条切线，可得f′（x₀）=1，f（x₀）=x₀，由此可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=lnx-x²，x＞0，则f′(x)=

1-2x2

x

令f′（x）＞0，可得0＜x＜

2

2

，∴f（x）在（0，

2

2

）上为增函数，
同理可得f（x）在（

2

2

，+∞）上为减函数
∴当x∈（0，e]时，f（x）最大值为f（

2

2

）=ln

2

2

-

1

2

（Ⅱ）∵f（x）=ln（x+a）-x²，∴x∈[1，2]有x+a＞0恒成立，∴a＞-1
∵f（x）在区间[1，2]上为减函数，∴x∈[1，2]，f′（x）=

1

x+a

-2x≤0恒成立
∴a≥

1

2x

-x，
而y=

1

2x

-x在[1，2]为减函数，∴a≥-

1

2

，
又a＞-1，故a≥-

1

2

为所求；
（Ⅲ）存在a=1，使直线y=x为函数f（x）的图象的一条切线．理由如下：
设切点为P（x₀，y₀），则
∵f′（x₀）=1，∴

1

x0+a

-2x0=1，∴x0+a=

1

1+2x0

∵f（x₀）=x₀，∴ln(x0+a)-x02=x0，∴ln

1

1+2x0

-x02=x0
∴x0+x02+ln(1+2x0)=0
令h（x）=x+x²+ln（1+2x）（x＞-

1

2

），∴h′（x）=1+2x+

2

1+2x

＞0 
∴h（x）为增函数，
又h（0）=0，∴h（x₀）=0
∴x₀=0
∴a=1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查分离参数法的运用，属于中档题．