Question

如图，四点A、B、C、D共圆，AC与BD相交于M，BC=

2

，AD=1+

3

，∠ADB=60°，∠CBD=15°，则AB的长为（　　）

• A．

  5

• B．

  6

• C．

  3

  +

  5

• D．2+

  3

Answer 1

分析：由已知中A、B、C、D四点共圆，由圆周角定理可得：∠ADB=∠ACB=60°，∠CBD=∠CAD=15°，进而∠BMA=∠CMD=75°，根据正弦定理，我们可以求出AM，CM的长，进而求出AC长，再由余弦定理，即可得到AB的长．

解答：解：由已知中，A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADB=∠ACB=60°，∠CBD=∠CAD=15°，
∴∠BMA=75°，
由正弦定理可得，在△ABM中
AB=

AM

sin∠ABD

sin75°
在△ABD中
AB=

AD

sin∠ABD

sin60°
∴AM=

AD

sin75°

sin60°=

6

在△CBM中
CD=

CM

sin∠CDB

sin75°
在△CBD中
CD=

BC

sin∠CDB

sin15°
∴CM=

BC

sin75°

sin15°=2

2

-

6

∴AC=2

2

在△ABC中，AB=

AC2+BC2-2AC•BC•cos∠ACB

=

6

故选B

点评：本题考查的知识点是正弦定理和余弦定理，是平面几何三角形问题的综合应用，除解三角形外，根据四点共圆及圆周角定理得到：∠ADB=∠ACB，∠CBD=∠CAD，根据三角形外角和定理求出∠BMA=∠CMD=75°，都是解答的关键，难度较大．