Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥面BDC₁；
（2）若AA₁=3，求二面角C₁-BD-C的余弦值；
（3）若在线段AB₁上存在点P，使得CP⊥面BDC₁，试求AA₁的长及点P的位置．

Answer 1

证明：（1）连接B₁C，交BC₁于点O，
则O为B₁C的中点，∵D为AC中点，∴OD∥B₁A，又B₁A?平面BDC₁，OD⊆平面BDC₁
∴B₁A∥BDC₁ （3分）
解：（2）∵AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁，∴CC₁⊥面ABC，
则BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC
如图建系，则C₁（3，0，0），B（0，0，2），D（0，1，0），C（0，0，0）
∴
设平面C₁DB的法向量为n=（x，y，z）则n=（2，6，3）
又平面BDC的法向量为∴二面角C₁-BD-C的余弦值：
（8分）
（3）设，
∴
又面BDC₁，
∴解得
所以AA₁=2，点P位置是在线段AB₁上且．（12分）
分析：（1）连接B₁C，交BC₁于点O，由三角形中位线定理，可得OD∥B₁A，结合线面平行的判定定理可得AB₁∥面BDC₁；
（2）以C为坐标原点，CC₁，CA，CB方向分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，求出平面C₁DB的法向量和平面BDC的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角C₁-BD-C的余弦值；
（3）设设，求出CP的方向向量和平面BDC₁的法向量，根据CP⊥面BDC₁，构造关于a，λ的方程组，解方程组，求出a，λ的值，即可得到AA₁的长及点P的位置．
点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得OD∥B₁A，（2）（3）的关键是建立空间坐标系，将空间直线与平面的垂直关系及二面角问题转化为空间向量的夹角问题．