Question

2．已知函数f（x）=1+$\frac{4}{x}$，g（x）=log₂x．
（1）设函数h（x）=g（x）-f（x），求函数h（x）在区间[2，4]上的值域；
（2）定义min{p，q}表示p，q中较小者，设函数H（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0）．
①求函数H（x）的单调区间及最值；
②若关于x的方程H（x）=k有两个不同的实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）=1+$\frac{4}{x}$在[2，4]上为减函数，g（x）=log₂x在[2，4]上为增函数，可得函数h（x）的单调性，进而求出最值，可得函数的值域；
（2）结合函数f（x）=1+$\frac{4}{x}$在（0，+∞）上为减函数，g（x）=log₂x在（0，+∞）上为增函数，且当x=4时，f（x）=g（x），可得函数H（x）的解析式，进而得到答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=1+$\frac{4}{x}$在[2，4]上为减函数，
g（x）=log₂x在[2，4]上为增函数，
∴函数h（x）=g（x）-f（x）=log₂x-1-$\frac{4}{x}$在[2，4]上为增函数，
当x=2时，函数取最小值-2，
当x=4时，函数取最大值0，
故函数h（x）在区间[2，4]上的值域为[-2，0]；
（2）当x=4时，f（x）=g（x），
由函数f（x）=1+$\frac{4}{x}$在（0，+∞）上为减函数，
g（x）=log₂x在（0，+∞）上为增函数，
故当x∈（0，4）时，g（x）＜f（x），
当x∈（4，+∞）时，g（x）＞f（x），
故H（x）=min{f（x），g（x）}=$\left\{\begin{array}{l}{log}_{2}x，0＜x≤4\\ 1+\frac{4}{x}，x＞4\end{array}\right.$．
故①求函数H（x）的单调递增区间为（0，4]，
单调递减区间为[4，+∞），
当x=4时，取最大值2，无最小值；
②当x→+∞时，H（x）→1，
故若关于x的方程H（x）=k有两个不同的实根，
则k∈（1，2）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，分段函数分段处理，是解答此类问题的关键．