Question

已知函数f（x）=

x2+2

x

（1）它是奇函数还是偶函数？并给出证明．
（2）它的图象具有怎样的对称性？
（3）它在（3，+∞）上是增函数还是减函数？并用定义证明．

Answer 1

分析：（1）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再利用奇函数定义证明函数为奇函数；（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；（3）利用函数单调性的定义，先设?x₁、x₂∈（3，+∞），且x₁＜x₂，再利用作差法比较f（x₁）与f（x₂）的大小，从而证明函数的单调性

解答：解：（1）此函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
f（-x）=

(-x)2+2

-x

=-

x2+2

x

=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数 
（2）∵函数f（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数 
∴其图象关于原点对称．
（3）函数f（x）=

x2+2

x

=x+

2

x

在（3，+∞）上是增函数  
 证明：设?x₁、x₂∈（3，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=x1+

2

x1

-x2-

2

x2

=(x1-x2)+

2(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1-

2

x1x2

)
∵3＜x₁＜x₂
∴x1-x2＜0，x1x2＞9，1-

2

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f(x)=x+

2

x

在（3，+∞）上是增函数
即函数函数f（x）=

x2+2

x

在（3，+∞）上是增函数

点评：本题考查了奇函数的定义及其判断方法，利用函数单调性的定义证明函数单调性的方法和技巧，作差法比较大小．