Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数， ）.

（Ⅰ）把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状；

（Ⅱ）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）对曲线的极坐标方程两边乘以，可化得其直角坐标方程为，这是顶点在原点，焦点为的抛物线；（2）根据直线参数方程的定义可知，直线过点，依题意直线又过点，由此求得直线方程为，倾斜角为，故直线的参数方程为，代入抛物线的直角坐标方程，写出韦达定理，利用求得弦长为.

试题解析：（1）曲线的直角坐标方程为，故曲线是顶点为，焦点为的抛物线.

（2）直线的参数方程为（为参数， ），故经过点，若直线经过点，则.

∴直线的参数方程为（为参数）

代入，得，

设对应的参数分别为，则， ，

∴.