Question

港口A北偏东30°方向的B处有一小岛，A正东方向的C处有一渔船，该渔船距岛B为31海里，现该渔船从C处沿着正西方向航行20海里到D处后出现机械故障最多只能航行12海里，此时测得渔船距离小岛B还有21海里，故只能继续向港口航去，问该渔船最终是否需要港口派船在海上救援？

Answer 1

【答案】分析：在△BCD中利用余弦定理，算出cos∠CDB=-，结合同角三角函数关系得到sin∠CDB=，再用差角的正弦公式算出sin∠BAD=．最后在△ACD中用正弦定理，得到AD=15，说明渔船不能到岸，因此需要港口派船在海上救援．
解答：解：在△BCD中，BC=31，BD=21，CD=20
∴由余弦定理可得，cos∠CDB==-
∴sin∠CDB==
由此可得：sin∠BAD=sin（∠CDB-60°）=sin∠CDBcos60°-cos∠CDBsin60°=
在△ACD中，由正弦定理，可得=，
即，解之得AD=15
∴渔船距港口还有15海里，无法到达港口，因此需要港口派船在海上救援．
点评：本题给出实际应用问题，讨论渔船是否需要海上救援．着重考查了运用正余弦定理三角形及其实际应用等知识，属于中档题．