题目内容
已知函数f（x）=ln（1+2x）-2x+ax2，（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）存在两个极值点，且都小于1，求a的取值范围；
（3）若对f（x）定义域内的任意x，不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．
【答案】分析：（1）求导函数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（2）求导函数，利用函数f（x）存在两个极值点，且都小于1，结合函数的定义域，即可求a的取值范围；
（3）令t=2x，则原不等式等价于
，分类讨论，分离参数，可得结论．
解答：解：（1）若a=1时，f（x）=ln（1+2x）-2x+x2，∴
（
）．
当
∪
，f′（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为
和
；
当
，f′（x）＜0，则f（x）的单调递减区间为
；
（2）
（
）．
由函数f（x）存在两个极值点，可知a≠2
∵两个极值点都小于1，结合函数的定义域有
，解得
综上，
且a≠2；
（3）令t=2x，则原不等式等价于
t=0，满足题设；
t≠0，有
∵ln（1+t）-t＜0恒成立
∴
∴0
∴a≤0．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，有难度．
（2）求导函数，利用函数f（x）存在两个极值点，且都小于1，结合函数的定义域，即可求a的取值范围；
（3）令t=2x，则原不等式等价于
，分类讨论，分离参数，可得结论．解答：解：（1）若a=1时，f（x）=ln（1+2x）-2x+x2，∴
（）．当
∪，f′（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为和；当
，f′（x）＜0，则f（x）的单调递减区间为；（2）
（）．由函数f（x）存在两个极值点，可知a≠2
∵两个极值点都小于1，结合函数的定义域有
，解得综上，
且a≠2；（3）令t=2x，则原不等式等价于
t=0，满足题设；
t≠0，有
∵ln（1+t）-t＜0恒成立
∴
∴0
∴a≤0．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，有难度．
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