Question

已知数列 {a_n}，其中a₂=6且 =n．
（1）求a₁，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求（++…+ ）．

Answer 1

解：（1）∵a₂=6且 =n，
∴=1，=2，=3，
解得a₁=1，a₃=15，a₄=28，
（2）由此猜想a_n=n（2n﹣1）
下面用数学归纳法加以证明：
①当n=1时，a₁=1×（2×1﹣1）=1，结论正确；
当n=2时，a₂=2×（2×2﹣1）=6，结论正确；
②假设n=k（k≥2）时结论正确，即a_k=k（2k﹣1），则当n=k+1时，
∵=k，∴（k﹣1）a _k+1=（k+1）a_k﹣（k+1）=（k+1）k（2k﹣1）﹣（k+1）=（k+1）（2k²﹣k﹣1）=（k+1）（2k+1）（k﹣1），
∵k﹣1≠0，∴a _k+1=（k+1）（2k+1）=（k+1）[2（k+1）﹣1]，
即当n=k+1时，结论正确
由①②可知，数列{a_n}的通项公式为：a_n=n（2n﹣1）
（3）∵==[﹣]
∴（++…+ ）=（1﹣）=