Question

在平面直角坐标系xOy中，点E到两点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离之和为，设点E的轨迹为曲线C．
（1）写出C的方程；
（2）设过点F₂（1，0）的斜率为k（k≠0）的直线l与曲线C交于不同的两点M，N，点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆的定义可知，点E的轨迹C是以两定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）为焦点，长半轴长为2的椭圆，由此可得曲线C的方程；
（2）先写出直线MN的方程为y=k（x-1），联立直线与椭圆方程，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点E（x，y），根据方程的根与系数的关系可求x₁+x₂，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），然后由PM=PN且P在y轴上，设p （0，b），利用两点间的距离公式可求b与k的关系，然后结合△＞0可求b的范围
解答：解：（1）由椭圆的定义可知，点E的轨迹是以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点，以2为长轴的椭圆
∵c=1，a=
∴b=1
∴C的方程为
（2）由题意可得，直线MN的方程为y=k（x-1）
联立方程可得，（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点E（x，y）
则x₁+x₂=，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=
且△=16k⁴-8（1+2k²）（k²-1）＞0
即1+k²＞0
∵PM=PN且P在y轴上，设p （0，b）
∴
整理可得，（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₂-y₁）（y₂+y₁-2b）
∴x₁+x₂=k（y₁+y₂-2b）
代人可得，
∴b=
∴2bk²+3k+b=0
∴△=9-8b²＞0
∴且b≠0
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．