Question

已知a＞0且a≠1，f（log_ax）=x²+2x-1
（1）求f（x）的解析式和定义域；
（2）若函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值是

31

9

，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）由条件可得log_ax有意义，故有x＞0，从而求得函数的定义域．令t=log_ax，求得f（t）=a^2t+2a^t-1，t∈R，从而求得f（x）的解析式．
（2）由于-1≤x≤1时，当a＞1时，令a^x=m，则

1

a

≤m≤a，f（x）=g（m）=（m+1）²-2，根据g（m）在[

1

a

，a]上是增函数，函数的最大值g（a）=

31

9

，求得得a的值；当0＜a＜1时，同理求得a的值，综合可得答案

解答：解：（1）由a＞0且a≠1，f（log_ax）=x²+2x-1，可得 x＞0，
故函数的定义域为（0，+∞）．
令t=log_ax，则 x=a^t，且f（t）=a^2t+2a^t-1，t∈R，
∴f（x）=a^2x+2a^x-1，x∈R．
（2）由于-1≤x≤1时，当a＞1时，则

1

a

≤a^x≤a．
令a^x=m，则

1

a

≤m≤a，f（x）=g（m）=（a^x+1）²-2=（m+1）²-2，
显然，g（m）在[

1

a

，a]上是增函数，故函数的最大值为g（a）=（a+1）²-2=

31

9

，
解得a=

4

3

．
当0＜a＜1时，则a≤a^x≤

1

a

．
令a^x=m，则 a≤m≤

1

a

，f（x）=g（m）=（a^x+1）²-2=（m+1）²-2，
显然，g（m）在[a，

1

a

]上是增函数，故函数的最大值为g（

1

a

）=(

1

a

+1)2-2=

31

9

，
解得a=

3

4

．
综上可得，a=

4

3

，或a=

3

4

．

点评：本题主要考查求函数的解析式、定义域，求二次函数在闭区间上的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．