Question

在平面直角坐标系中，已知曲线: ，在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的极坐标方程为.

（1）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的倍、倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；

（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值.

 

Answer 1

（1）,;(2)当时．

【解析】

试题分析：

解题思路：（1）利用直线与椭圆的参数方程与普通方程的互化公式求解即可；(II)利用点到直线的距离公式转化从三角函数求最值即可求解.

规律总结：参数方程与普通方程之间的互化，有公式可用，较简单；往往借助参数方程研究直线与椭圆的位置关系或求最值.

试题解析：（1）由题意知，直线的直角坐标方程为，

由题意知曲线的直角坐标方程为，

∴曲线的参数方程为（为参数）.

（2）设，则点到直线的距离

，

当时，即点的坐标为时，点到直线的距离最大，

此时.

考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.点到直线的距离公式.