Question

【题目】已知函数f（x）=（a+1）lnx﹣x2 ， ．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）与g（x）在（0，+∞）上的单调性正好相反． （Ⅰ）对于 ，不等式 恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅱ）令h（x）=xg（x）﹣f（x），两正实数x1、x2满足h（x1）+h（x2）+6x1x2=6，证明0＜x1+x2≤1．

Answer 1

【答案】
（1）解：（Ⅰ） ．

①当a≤﹣1时，f′（x）≤0，此时f（x）在（0，+∞）上为减函数．

②当a＞﹣1时， ，

令f′（x）＞0，则 ；

令f′（x）＜0，则 ，

∴此时f（x）的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．

（2）（Ⅰ） ，则 ，

①当a≤0时，g′（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上为增函数，由（Ⅰ）知，可能与f（x）单调性相同；

②当a＞0时， ，

令g′（x）＞0，则 ，此时g（x）为增函数；

令g′（x）＜0，则 ，此时g（x）为减函数；

∴此时g（x）的单调递增区间为 ，单调递减区间为

若要与y=f（x）在（0，+∞）上的单调性正好相反，则结合（Ⅰ）可知 ，∴a=1．

∴ ．

在（0，+∞）上y=f（x）在（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减；

y=g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增．

∴在 上：对于f（x）：f（x）max=f（1）=﹣1，

又 ，∴f（x）min=f（3）=﹣9+2ln3．

对于g（x）：g（x）min=g（1）=2，

又 ，∴

∴[f（x）﹣g（x）]max=f（x）max﹣g（x）min=﹣3，

当t﹣1＞0即t＞1时，不等式恒成立；

当t﹣1＜0即t＜1时，不等式恒成立需满足： ，∴ ．

综上，所求t的范围为 ．

（Ⅱ）解：易得h（x）=2x2+1﹣2lnx，

由h（x1）+h（x2）+6x1x2=6得 ，

∴ ，

∴ ，

∴

令t=x1x2，设φ（t）=lnt﹣t+2， ，

可知φ（t）在（1，+∞）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

∴φ（t）≤φ（1）=1，∴0＜x1+x2≤1．

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出[f（x）﹣g（x）]max以及其最小值，从而求出t的范围即可；（Ⅱ）由h（x1）+h（x2）+6x1x2=6得： 令t=x1x2 ， 设φ（t）=lnt﹣t+2，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．